Welkom bij rdzl. Je dagelijkse portie raadsels, puzzels en breinbrekers.

Vandaag is het 20 November 2017

Voeg toe via:

Twaalf muntjes - logisch rdzl

Moeilijkheid: 

   Waardering: 2.0/5.0

Deel dit rdzl:  

Je hebt 12 muntjes met een identiek uiterlijk. Echter, een ervan is zwaarder of lichter dan de rest. Op een balansweegschaal mag je drie wegingen verrichten om uit te zoeken welk muntje afwijkt van de rest en te bepalen of het zwaarder of lichter is.
Hoe kan je dit doen?

Uitleg

Het idee is dat je 3 maal 8 muntjes per keer weegt, 4 aan de ene kant, 4 aan de andere. De samenstelling van de groepen varieert en deze kan gebruikmakend van een schema bepaald worden.

Een balansweegschaal heeft per weging 3 mogelijke uitslagen: uitslag naar links, uitslag gelijk en uitslag naar rechts. Als je 3 wegingen achter elkaar verricht heb je dus 3 maal 3 maal 3 = 27 mogelijke uitslagen.

Laten we de uitslag van een weging opschrijven als een getal, -1 voor naar links, 0 voor gelijk en 1 voor naar rechts.

Vervolgens nummeren we de muntjes van 1 tot en met 12. De muntjesnummers B kunnen allemaal als volgt worden opgeschreven:

B = 9 * w1 + 3 * w2 + 1 * w3

In deze formule staan w1, w2 en w3 voor -1, +1, of 0. Bijvoorbeeld B = 12 = 9 * 1 + 3 * 1 + 0 * 1 en B = 7 = 9 * 1 + 3 * -1 + 1 * 1. Laten we alle mogelijkheden opschrijven in een tabel
B    1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
w1   0   0   0   0   1   1   1   1   1   1   1   1
w2   0   1   1   1  -1  -1  -1   0   0   0   1   1
w3   1  -1   0   1  -1   0   1  -1   0   1  -1   0
Nu is het de truc om zo te gaan wegen dat w1, w2 en w3 achtereenvolgens de uitkomsten van de drie wegingen zijn. De valse munt kan dan gevonden worden door de formule voor B te gebruiken.

Uiteraard zijn dan ook negatieve uitkomsten voor B mogelijk. We moeten zo gaan wegen dat het teken van B (positief of negatief) ons kan laten weten of de valse munt zwaarder of lichter is. Voor het gemak hieronder de tabel met de negatieve uitkomsten.
B  -1   -2   -3   -4   -5   -6   -7   -8   -9  -10  -11  -12
w1  0    0    0    0   -1   -1   -1   -1   -1   -1   -1   -1
w2  0   -1   -1   -1    1    1    1    0    0    0   -1   -1
w3 -1    1    0   -1    1    0   -1    1    0   -1    1    0
Uit de tabellen kunnen we opmaken dat om w1 te bepalen we muntje 5,6,7,8,9,10,11, en 12 moeten wegen.
Voor w2 moeten we 2,3,4,5 ,6,7,11, en 12 wegen.
En tenslotte voor w3 muntje 1,2,4,5,7,8, 10 en 11.

Om er voor te zorgen dat de formule voor B werkt moeten we uitzoeken hoe we de wegingen moeten uitvoeren. Uit de tabel valt dit makkelijk op te maken. Stel dat muntje 2 bijvoorbeeld het valse zware muntje is. Dan moet weging 2 1 geven en weging 3 -1 of weging 2 -1 en weging 3 1. Dus 2 moet in weging 2 precies aan de andere kant liggen als in weging 3.

Laten we nu bepalen hoe we de wegingen moeten uitvoeren. Als gezegd moeten we als eerste muntje 5,6,7,8,9,10, 11 en 12 wegen. We kunnen bijvoorbeeld muntje 5, 6, 8 en 10 links leggen en rechts muntje 7, 9, 11, en 12.

Vervolgens moeten we muntje 2,3,4,5,6,7, 11 en 12 wegen. Muntje 5, 6, en 7 moeten aan de andere kant. Muntje 11 en 12 moeten aan de zelfde kant blijven. Dus we moeten links muntje 2, 3, 4 en 7 leggen en rechts muntje 5, 6, 11 en 12.

Tenslotte moeten we muntje 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 en 11 wegen. Muntje 2, 7, 8, en 11 moeten aan de andere kant als in hun vorige weging. Muntje 4, 5 en 10 moeten aan dezelfe kant als hun vorige weging. Dus links muntje 1, 4, 10 en 11 en rechts muntje 2, 5, 7 en 8.

De uitkomsten van de drie wegingen geven achtereenvolgens w1, w2, en w3. Met de formule voor B kun je nu het valse muntje bepalen. Als het valse muntje nummer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 of 10 is dan is het valse muntje zwaarder als B positief is en lichter als B negatief is.
Als het valse muntje nummer 7, 9, 11 of 12 is dan is het valse muntje lichter als B positief is en zwaarder als B negatief is.

Tot slot nog twee voorbeelden. Stel dat muntje 6 het valse muntje is en zwaarder dan de rest.
De eerste weging 5,6,8,10 / 7,9,11,12 geeft dan w1 = 1.
De tweede weging 2,3,4,7 / 5, 6, 11, 12 geeft dan w2 = -1.
De derde weging 1,4,10,11 / 2, 5, 7, 8 geeft dan w3 = 0.
Gebruikmakend van de formule voor B vinden we B = 9 * 1 + 3*-1 + 1 * 0 = 6. Dus het valse muntje is nummer 6 en omdat B positief is muntje 6 zwaarder dan de rest.

Stel nu dat muntje 11 vals is en zwaarder dan de rest. De eerste weging 5,6,8,10 / 7,9,11,12 geeft dan w1 = -1.
De tweede weging 2,3,4,7 / 5, 6, 11, 12 geeft dan w2 = -1.
De derde weging 1,4,10,11 / 2, 5, 7, 8 geeft dan w3 = 1.
Gebruikmakend van de formule voor B vinden we B = 9 * -1 + 3*-1 + 1 * 1 = -11. Dus het valse muntje is nummer 11 en omdat B negatief is muntje 11 zwaarder dan de rest.

Er zijn meer oplossingen voor deze puzzel, maar bovenstaande is een van de meest elegante.