Welkom bij rdzl. Je dagelijkse portie raadsels, puzzels en breinbrekers.

Vandaag is het 22 November 2017

Voeg toe via:

Pret met de rekenmachine - reken rdzl

Moeilijkheid: 

   Waardering: 1.5/5.0

Deel dit rdzl:  

Isa toetst een willekeurig positief getal in op haar rekenmachine. Dan drukt ze achteereenvolgens
Een keer op de wortelknop
Een keer op de vermenigvuldingsknop
Twee keer op de wortelknop
Een keer op de vermenigvuldingsknop
Vier keer op de wortelknop
Een keer op de vermenigvuldingsknop
Acht keer op de wortelknop
Een keer op de vermenigvuldingsknop
enzovoorts.
rekenmachine
Ze stopt hiermee wanneer het getal dat op haar beeldscherm verschijnt niet meer verandert als ze de vermenigvuldigingsknop indrukt. Tot slot drukt ze nog een keer op de wortelknop.

Wat is de relatie tussen het uiteindelijke en het oorspronkelijke getal? En waarom is dat zo?

Uitleg

Als je begint met een getal x en de procedure volgt krijg je de derde machtswortel uit x. Dat kan je zien als volgt. Neem aan dat je begint met een positief getal x.

Stap 1. Je krijgt wortel x, oftewel x^a1 met a1 = 1/2.
Stap 2. Je vermenigvuldigt x^(1/2) met twee keer de wortel uit x^(1/2) (= x^(1/8) ). Je krijgt dus x^a2. met a2 = a1 + a1 * 1/2^2 = 5/8.
Stap 3. Je krijgt nu x^a3 met a3 = a2 * (1 + 1/2^4) = 85/128.

Stap n. Je krijgt nu x^an met an = a(n-1) * [1 + 1/2^(2n-2) ]

Dus a(n+1) is gelijk aan 1/2 * (1 + 1/2^2) * (1 + 1/2^4) * (1 + 1/2^8) * ... * (1 + 1/2^2n)
Als n heel groot wordt, zeg maar oneidindig, kunnen we dit schrijven als a = 1/2 S waarbij
S = 1 + 1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 + 1/2^8 + 1/2^10 + ...
Nu is S gelijk aan 1 + x^2 + x^4 + x^6 + .... met x=1/2. Zo'n som is makkelijk op te tellen, we krijgen S = 1/(1 - x^2) = 4/3.

Dus in de limiet van heel vaak worteltrekken, stap oneindig zeg maar, krijgen we a = 1/2 S, wat gelijk is aan a = 2/3.

Als het getal op Isa's display niet meer verandert, zijn we hier dicht bij in de buurt, dan heeft ze dus x^(2/3) op haar scherm staan. Dan drukt ze nog een keer op het wortelteken. Dat geeft dus x^(1/3).
Isa vindt dus uiteindelijk de derde machts wortel van x.