Welkom bij rdzl. Je dagelijkse portie raadsels, puzzels en breinbrekers.

Vandaag is het 18 November 2017

Voeg toe via:

Magische vierkanten - reken rdzl

Moeilijkheid: 

   Waardering: 1.6/5.0

Deel dit rdzl:  

Een n bij n magisch vierkant is een vierkant dat uit n rijen en n kolommen bestaat. Het magische vierkant is zo ingevuld dat alle getallen tussen 1 en n^2 er een keer in voorkomen. Verder is de som van iedere rij gelijk aan elkaar en aan de som van iedere kolom en iedere diagonaal.

Hoe groot is de som van een rij, kolom en diagonaal in een n bij n magisch vierkant? En hoe ziet het 3 bij 3 magisch vierkant er uit?

Uitleg

Eerst berekenen we de som van een rij van een n bij n magisch vierkant. Als we de getallen uit alle n rijen bij elkaar op tellen, krijgen we
1 + 2 + 3 + 4 + .... + n^2.
Dit is gelijk aan n^4 / 2 + n^2 / 2.
Maar er zijn n rijen, en die moeten allemaal dezelfde som S hebben. Dus n * S = n^4 / 2 + n^2 / 2.
Delen we dit door n, dan vinden we dat de som per rij gelijk is aan (n^3 + n) / 2.

Dus voor een 3 bij 3 magisch vierkant, is de som van een rij, kolom en diagonaal gelijk aan (3^3 + 3) / 2 = 15.

Om in iedere rij, kolom en diagonaal 15 te krijgen moet je in iedere rij kolom en diagonaal twee even getallen en een oneven getal hebben. Omdat er maar vier even getallen zijn tussen 1 en 9, moeten de even getallen 2, 4, 6 en 8 wel op de hoekpunten zitten. De som van de ene diagonaal moet gelijk zijn aan de andere, dat kan alleen als 2 en 8 tegen over elkaar zitten en als 4 en 6 tegen over elkaar zitten. Dus het middelste getal is 5. En omdat de som van de rijen en kolommen 15 is kunnen we de andere getallen makkelijk invullen. Dus het magisch vierkant ziet er als volgt uit

2 9 4
7 5 3
6 1 8

Of een spiegeling of draaiing hier van.