Wat is de gemiddelde afstand tussen twee willekeurig gekozen punten binnenin een bol met straal 1?
Dit probleem is het handigste op te lossen door bolcoördinaten te gebruiken:
De kans dat een willekeurig gekozen punt in het stukje van de bol met afmetingen
ligt is gegeven door:
De afstand tussen twee willekeurig gekozen punten
en
binnenin de bol is:
waarbij
de hoek is tussen de punten
en
.
De gemiddelde afstand tussen twee willekeurig gekozen punten binnen een bol is nu:
.
Gebruikmakend van de bolcoördinaten en de symmetrie kan de bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot:
.
Het integreren over de hoek geeft:
.
Deze integraal kan worden uitgerekend door het interval op te splitsen in twee stukken:
.
De gemiddelde afstand tussen twee willekeurig gekozen punten binnen een bol is dus 36/35 = 1,02857....
Het gekke van dit probleem is dat het in drie dimensies makkelijker op te lossen is dan in twee! Bijna altijd betekent meer dimensies, meer moeilijkheden. Probeer maar eens uit te rekenen wat de gemiddelde afstand tussen twee willekeurig gekozen punten binnen een cirkel is.
