Welkom bij rdzl. Je dagelijkse portie raadsels, puzzels en breinbrekers.

Vandaag is het 19 November 2017

Voeg toe via:

Dat is nou toevallig, die ken ik ook! - reken rdzl

Moeilijkheid: 

   Waardering: 2.1/5.0

Deel dit rdzl:  

Je hebt vast wel eens tot je grote verbazing meegemaakt dat je er achter komt dat, zonder dat je het van te voren wist, iemand een bekende heeft die ook een bekende van jou is. Is dit nu heel erg toevallig of valt dat wel mee?

Neem aan dat de gemiddelde Nederlander ongeveer 1000 bekenden uit Nederland heeft. Hoe groot is de kans dat twee willekeurig gekozen Nederlanders tenminste een gemeenschappelijke bekende hebben?

Uitleg

Noem het aantal bekenden van persoon 1 en 2 respectievelijk n1 en n2 en het totaal aantal inwoners van Nederlander N.

De kans dat beiden tenminste een gemeenschappelijke bekende hebben is 1 min de kans dat beiden geen gemeenschappelijke bekende hebben.

Noem de kans dat beiden geen gemeenschappelijke kennis hebben P.

      (N - n1)     (N - n1 - 1)            (N - n1 - n2 + 1)
  P = --------  *  ------------ * ..... *  -----------------
         N           (N - 1)                  (N - n2 + 1)

         (N - n1)!        (N - n2)!
    =  --------------  *  ---------
       (N - n1 - n2)!        N!

Gewoon de formules invullen gaat een beetje lastig met N = 16 miljoen. Daarom kunnen we Stirling's formule gebruiken, die een benadering geeft voor faculteiten van grote getallen. De formule van Stirling is

  ln( N! ) ~= (N + 1/2) ln( N ) - N + 1/2 ln( 2 * pi )

Verder hebben we de Taylor benadering van de logaritme nodig(geldt als n1 veel kleiner is dan N)

  ln( N + n1 ) ~= ln( N ) + n1/N - 1/2 n1^2 / N^2

Gebruik makend van beide benaderingen vinden we

                n1 * n2
  ln( P ) ~=  - -------
                   N

Hieruit volgt dat de kans dat twee mensen een gemeenschappelijke bekende hebben ongeveer gelijk is aan

  1 - P ~= 1 - exp ( - n1 * n2 / N ) ~= n1 * n2 / N

Invullen van deze formule voor n1 en n2 = 1000 en N = 16 miljoen geeft een kans van 6%. Verbazingwekkend hoog niet?